Le attività

Nella scuola media le attività hanno riguardato la comprensione e risoluzione di problemi geometrici e non connessa al concetto di frazione in 2° , mentre in 1° sono stati proposti problemi di vario genere connessi alle 4 operazioni.

Classi I e II D  , prof. Portalupi Maria Grazia

Esempio di attività svolta in 1° media relativa all’utilizzo di moltiplicazione e divisione per risolvere i problemi.

Problemi assegnati relativamente alla moltiplicazione

1 – Devo sistemare delle stecche di cioccolato in scatole. Ho a disposizione 16 scatole ed in ogni scatola ci stanno 24 stecche. Quante stecche di cioccolato posso sistemare?

2 – Un cuoco utilizza 0,75 kg di farina, per confezionare un dolce. Deve preparare 18 dolci. Quanta farina servirà?

3- Il prezzo di un litro di olio è L 5850. Quanto costerà l’olio contenuto in una bottiglia della capacità di 0,7 l?

4- Con un litro di benzina un’automobile può percorrere 13,2 km. Quanti km percorrerà con 8 litri di benzina

In ogni problema sono stati richiesti i dati e un disegno che rappresentasse la situazione, poi l’operazione risolutiva. Ciascun alunno ha eseguito da solo la consegna; girando tra i banchi ho avuto modo di osservare i procedimenti e quindi di richiedere successivamente in modo mirato di giustificare i passaggi . Quando sono emerse incertezze attraverso domande ho cercato di far riflettere guidando alla comprensione.

Al termine di ogni problema si sono confrontate e discusse le soluzioni proposte dalla classe.

CONSIDERAZIONI

N.1 : tutti gli alunni (25) tranne 3 lo hanno svolto correttamente.

N. 2 Lo stesso per il secondo, da notare che alcuni hanno preferito prima eseguire l’equivalenza anche se non richiesta. Preferiscono utilizzare i numeri naturali nei calcoli.

N. 3 Qui c’è stata discussione sulla rappresentazione grafica…occorreva disegnare 1 bottiglia da un litro e una più piccola, alla domanda: questo problema lo sapete risolvere con sicurezza? Anche i più bravi hanno risposto di no. La difficoltà manifestata e’ quella di avere una bottiglia più piccola, quindi il decimale anche qui "non piace". Osservando il disegno si è comunque tutti arrivati a dire che la bottiglia più piccola costa di meno.

Questo è importante , in quanto il disegno ha permesso di far notare come da una moltiplicazione sia possibile trovare un risultato più piccolo del moltiplicando.

N.4 Sono state incontrate ancora difficoltà nel disegno. Girando tra i banchi ho notato che veniva riportata una strada con un auto, ma senza riferimento ai dati . Qui la difficoltà sta nel mettere in relazione un tratto di strada con un consumo in litri (mi hanno chiesto come si fa) . Ho allora tracciato il disegno alla lavagna, cercando con domande di farmi suggerire come procedere; siamo arrivati a indicare un primo tratto con accanto una lattina da  1 litro, poi un altro con ancora 1 litro e così via... Quasi tutti hanno 

Quando nella lezione successiva è stato chiesto "Inventa un problema simile a quelli svolti"

5 alunni hanno inventato problemi con l’addizione invece che con la moltiplicazione (hanno riferito di non aver capito a quali mi riferivo)

Gli altri con la moltiplicazione di interi .Sicuramente questo indica la necessità di riprendere il concetto di numero decimale.

Sono stati assegnati nella lezione successiva i seguenti problemi, in cui sono presenti le 4 operazioni per verificare la comprensione del loro utilizzo :

- 1)Per riempire 5 bottigliette ci sono voluti 1,25 litri di birra. Quanta birra contiene ciascuna bottiglietta?

- 2) In una gita scolastica si fa una prima tappa dopo 132,5 km. Per arrivare a destinazione mancano ancora 179 km. Quanto dista dalla scuola la città da raggiungere?

- 3) Con un litro di benzina un’auto percorre 14 km.. quanti km può percorrere con 3,70 litri di benzina? (simile all’altro precedente)

- 4) Ho speso 900 lire per comprare 0,75 kg di cacao. Quanto avrei speso per comprare 1 kg? (simile all’altro precedente)

- 5) Si devono piastrellare le pareti di un bagno fino a 280 cm di altezza: quanti file di mattonelle quadrate di lato di 20 cm si dovranno mettere su ogni parete?

- 6) Francesco desidera comprare un pallone che costa 9000 lire, ma non ha il denaro sufficiente, la nonna gli deve dare ancora 5000 lire. perché possa comprarlo. Di quanto denaro disponeva Francesco?

- 7) Lucia si pesa in farmacia e la bilancia indica 24,3 kg; i vestiti pesano 2,4 kg. Qual è il peso reale di Lucia?

Risultati ottenuti (19 alunni totali)

Esempio di attività svolta in 2° media relativa all’utilizzo della frazione come operatore ( in situazioni geometriche)

L’attività parte da alcune considerazioni di carattere didattico:

- gli alunni operano con le frazioni in modo meccanico, eseguono le 4 operazioni, sanno semplificare (ma non sempre lo fanno),

- sanno rappresentare generalmente frazioni proprie, ma incominciano ad avere incertezze con le improprie ed apparenti.

- Nei problemi utilizzano correttamente la frazione come operatore solo in quelli diretti, ma sbagliano spesso negli altri casi.

- Hanno difficoltà nel comprendere l’equivalenza tra frazioni e n. decimali.

Per far riflettere gli allievi sulle proprie incertezze, per aiutarli a trovare la causa dell’errore e della non comprensione, per rendersi conto che non tutte le situazioni problematiche sono uguali, ma che esistono comunque modelli di riferimento che possono aiutare …sono stati assegnati i seguenti esercizi:

1)Nel seguente segmento , lungo 24 quadretti, indica i  3/4

2)Del seguente segmento, . lungo 30 quadretti, disegna i  3/5

3)Due segmenti sono lunghi l’uno i ¾ dell’altro e la loro somma misura 84 cm. Quanto misura ciascuno?

4)I 2/5 di un segmento misurano 100 cm. Disegna il segmento e disegna i suoi 2/5.

Quanto misura tutto il segmento?

5)Un segmento è 9/4 di un altro e la loro differenza misura 180 cm. Calcola ciascuno.

CONSIDERAZIONI:

Se non viene chiesto esplicitamente il disegno non viene fatto. Anche chi di solito "ci tiene a far giusto" tende a non rappresentare graficamente.

Alla richiesta . "di che cosa abbiamo bisogno?"…….la risposta è "l’unità frazionaria"….ma forse è un po’ meccanica.

Il testo non viene letto con attenzione: l’esercizio 1 e 2 sono stati svolti allo stesso modo cioè disegnando due segmenti da parecchi alunni

I dati non vengono riportati sul disegno

Abbiamo svolto parecchi esercizi con situazioni simili, alla verifica si sono notati miglioramenti nei problemi con somma e differenza, mentre quelli inversi risultano ancora creare difficoltà, il che fa pensare ad un’acquisizione meccanica di procedimenti, piuttosto che non reale acquisizione del concetto di unità frazionaria e frazione.

Attività svolte nella classe II A , prof. Caprino Anna Rita

Dalla risoluzione del problema proposto dalla prof. Longo in un suo intervento si è evidenziato come i ragazzi spesso eseguano le operazioni, anche in modo corretto, ma senza chiedersi il significato di quanto stanno facendo.

Per rivedere il significato dei numeri decimali, della loro corrispondenza con le frazioni e del significato di rapporto ho proposto quindi alcuni esercizi formulati in modo diverso, e dopo un po’ di tempo dalla trattazione dell’argomento .

Ho avuto amare sorprese, che mi hanno fatto pensare che ho sbagliato tutto e che è tutto da rifare…

Il fatto che alcuni concetti che sembrano compresi non siano poi spontaneamente riutilizzati in situazioni diverse conferma che essi non sono completamente assimilati. L'apprendimento può avvenire lentamente , con un processo di costruzione che richiede tempi non uguali per tutti, è importante che la scansione sia il più graduale possibile, e spero che con una continuità maggiore nei curricoli, riusciremo a non essere più afflitte dai Programmi intesi come nozioni da trasmettere, senza accertarci della acquisizione dei contenuti non superficiale da parte degli allievi.

             Richiesta:

 Inventa un problema in cui abbia senso fare l’operazione 23 : 4.

Tutti hanno proposto un problema, alcuni erano senza senso, e li abbiamo scartati.

Sono rimasti i seguenti, che sono stati in parte modificati dalla discussione generale .

Un barista spreme 23 arance (tutte uguali) e mette la spremuta in 4 caraffe uguali. In ogni caraffa ci sarà il succo di quante arance?

Un rettangolo ha l’area di 23 cm² e la base di 4 cm. Qual è l’altezza ?

Per fare un regalo 4 amici spendono 23 euro, quanto spende ciascuno , se decidono di dividersi la spesa in parti uguali ?

Per fare i costumi di carnevale 4 amiche acquistano una pezza di stoffa di 23 metri, Se la dividono in parti uguali, quanta stoffa avrà ciascuna ?

Conclusione, se sollecitati i ragazzi riescono a rendersi conto del significato di una operazione.

Esempi di problemi proposti

Luigi prende un libro dalla biblioteca, il giorno seguente dice di averne già letti i 5/8, il terzo giorno dice di averne letti altri 7/16. Gli si può credere? Perché?

** Abbiamo fatto 2 test di matematica, il primo di 25 quesiti e il secondo di 20. Nel primo ho risolto 12 quesiti, nel secondo 10. Qual è stato il risultato migliore?

 

Ho trovato la ricetta delle Patate alla trevigiana per 6 persone, ma in famiglia siamo 4 , indica le dosi per 4 persone.

INGREDIENTI per 6 persone:

Patate kg 1,5

Pancetta g 100

Burro g 50

Cipolle 2

          Sugo di arrosto 3 cucchiai

          Sale e pepe q.b.

Riporto le osservazioni sulla risoluzione del 2° problema **

Per il confronto dei risultati alcuni contano quanti test non sono stati fatti,

Altri confrontano con la metà ,10 è la metà di 20.

Questo metodo viene reputato migliore, nessuno pensa al rapporto, anche se è appena stato trattato.

Quando chiedo se si avessero risultati diversi, non riconducibili alla metà, arriviamo ad introdurre il rapporto ( 10 su 20 e 12 su 25).

Ma ci sono difficoltà nel confronto delle frazioni.

Guidati si arriva ai numeri decimali corrispondenti, ma ancora molti evidenziano difficoltà nell’ordinare i n. decimali ( chi è maggiore fra 0,48 e 0,5 ? ).

Riprendo anche il confronto di frazioni, ricordando che avevamo visto due metodi di confronto,

a nessuno dei miei 26 allievi si accende una "lampadina" che indichi la strada per proseguire, nonostante gli esempi concreti fatti precedentemente tagliando a strisce pagine e pagine di vecchi quotidiani.

Propongo di cercare un aiuto sul testo: ma prima si lasciano confondere dalla definizione, poi finalmente qualcuno trova un esempio chiarificatore e si accende la benedetta "lampadina".

Non tutti però riescono a procedere da soli e devono essere guidati passo passo.

Assegno il seguente esercizio:

Disegna un rettangolo alto 2 quadretti e lungo 24.

Sotto ad esso disegna i suoi ¾

Poi disegna i suoi 6/8

Poi disegna i suoi ….

Do le indicazioni una alla volta, passando tra i banchi per controllare se riescono a seguire, ma senza dare indicazioni.

Presi dal disegno e dalle suddivisioni dell’intero, nessuno si accorge che le prime sono frazione equivalenti, cosa che semplificherebbe rappresentazione, qualcuno in difficoltà per la suddivisione grafica chiede come si può fare, anzi qualcuno propone subito un "non si può dividere", solo dopo avergli detto di stare attenti, di osservare le frazioni, i "soliti" notano l’equivalenza.

Scuola elementare, Marisa Aimaro

La riflessione sul "teorema in atto" attuata con la prof: Bruno Longo ha richiamato alla memoria la ricchezza di situazioni "matematiche " che si possono estrapolare dalle lezioni di educazione motoria nella scuola elementare:

Durante il primo anno, parallelamente all’acquisizione del concetto di numero si rivela utile "giocare" in palestra in questo modo :

L’insegnante fa muovere liberamente i bambini in palestra , essi al comando " due" , "quattro" ecc.. dovranno correre per formare gruppi corrispondenti al numero, di bambini che si tengono per mano . Da questo gioco emerge in embrione il concetto di divisibilità che sarà poi ripreso successivamente, infatti si potrà verificare il caso di bambini che non riescono a formare un gruppo per mancanza di elementi. Nelle classi successive si potranno trarre utili considerazioni ripetendo il gioco in lezioni successive , infatti le assenze rendono variabile il numero degli alunni partecipanti rendendo differenti i risultati dei raggruppamenti . ( Nella classe in cui insegno, composta da 27 alunni, se sono tutti presenti posso formare gruppi da tre senza che nessuno rimanga escluso ma non posso formare gruppi da due, riprovando con 1 / 2/3 assenti i risultati cambiano.

La classe viene divisa in tre gruppi , i "muratori", i "mattoni"( più numeroso) e i compratori". I " muratori" dovranno " costruire con i compagni nel ruolo di " mattoni " i numeri che l’insegnante enuncia , il "muratore" fa sdraiare i compagni sul pavimento facendo loro assumere la posizione più consona a rappresentare il numero , può scegliere tutti i compagni che ritiene utili allo scopo . I "compratori"sceglieranno la "costruzione" che riterranno più riuscita giustificando la scelta. In questa situazione intervengono concetti di lateralizzazione e di rapporti spaziali molto utili ai fini dell’apprendimento.

Lo stesso gioco si può ripetere con le lettere dell’alfabeto utilizzando le linee di divisione del campo di pallavolo o basket come linea di scrittura , questo rende immediatamente evidente la differenza tra "p" e "b" per esempio.

Nelle classi successive possono essere innumerevoli le situazioni di " problem solving" riscontrabili in palestra o nelle situazioni ludiche:

" Per la realizzazione di questo gioco occorrono 4 gruppi di bambini, come possiamo formare i gruppi? Quanti elementi per gruppo? " compito dell’insegnante sarà quello di raccogliere le possibili soluzioni e di confrontarle ( strategia da utilizzare per giochi in cui non sia necessario prevedere lo stesso numero di alunni per gruppo , per esempio far passare la palla da uno all’altro con diverse modalità si esecuzione , lancio , rimbalzo, rotolamento, ecc…) . Anche in questo caso le assenze possono costituire una variabile da prendere in considerazione .

per realizzare la " staffetta" occorre formare gruppi numericamente omogenei , come possiamo suddividere la nostra classe ? " Quanti gruppi? Con quanti elementi in ogni gruppo? Sono possibili più soluzioni? Nessuna soluzione è possibile? Queste attività possono essere utilizzate egregiamente come approccio alla scoperta delle proprietà delle operazioni : nel caso precedente , data una classe di 21 alunni :( 5+4+6+6 ) oppure (5+5+5+6) soddisfano la richiesta , nel caso della staffetta possiamo formare 3 oppure 7 squadre : 7 alunni x 3 squadre oppure 3 alunni x 7 squadre .

Gli esempi potrebbero continuare indefinitamente, la considerazione importante è , a mio parere che in questo contesto è importante "cogliere l’attimo" per "problematizzare " le situazioni più comuni , verbalizzare, discutere le conclusioni e rappresentare poi graficamente le acquisizioni e le considerazioni personali.

Altra situazione in cui è stato possibile mettere in moto un "teorema in atto" è il gioco delle carte , in particolare tutti i giochi che prevedono la possibilità di acquisire con una carta di valore "7" per esempio, una carta di valore "4" ed una di valore"3" con tutte le variabili implicite.